Советский и российский актёр. Сластин родился 12 июня 1942 года в Улан-Удэ в СССР. До того, как Александр начал сниматься в кино, в 1961 году он работал опытным актёром во многих театральных коллективах Советского Союза. В 1968 году Сластин стал участником Ленинградского мюзик-холла. В 1969 году он дебютировал на экране, сыграв князя Галицкого в опере "Князь Игорь". В начале актёрской карьеры он работал в российских кинопроектах, а с начала 1990-х годов начал сниматься за границей. Его первым зарубежным фильмом стал немецкий телефильм "Умри, юная Катарина" (1991). Он также снялся в итальянском фильме "Знатоки". Самый известный фильм с его участием - "Падение" (2004), где он сыграл советского генерала Василия Чуйкова. В 2005 году получил почётное звание Заслуженного артиста Российской Федерации