Датский актёр и сценарист. Мартин родился 4 ноября 1968 года в Люнгбю, Дания. После окончания Орхусской театральной школы (1996) работал фрилансером в нескольких театрах, включая Датский королевский театр. Бух начал карьеру в киноиндустрии с малобюджетных короткометражек и полнометражных фильмов. Первой его известной работой стала комедия "Взгляни налево - увидишь шведа" (2003). В 2002 году актёр снялся в фильме "Фуксвансен" и был номинирован на премию датской киноакадемии за лучшую мужскую роль. В 2003 году его фильм "Этот очаровательный мужчина" получил премию "Оскар" за лучший короткометражный фильм в прямом эфире. Вместе с Расмусом Ботофтом Мартин сделал радиошоу "Кавалерия" для датской вещательной корпорации. Оно имело успех, и его превратили в прямые эфиры, и вскоре попросили сделать телевизионное шоу. Вместе с Расмусом и режиссёром Питером Хартоном Бух написал сценарий и сыграл различные роли в двух сезонах, оба из которых были высоко оценены критиками. Последний получил премию датской киноакадемии за "Лучшее телевизионное шоу короткометражного формата". В 2022 году он исполнил главную роль в фильме "Магическая машина времени" (2022)